Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{8 x}{x^{5} + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 8 x$ et $g (x) = x^{5} + 3$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [8 x] - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \cdot 1) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + 0)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{5} \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Déplacez $8$ à gauche de $x^{5}$ .

$\frac{8 \cdot x^{5} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x^{1})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{4 + 1}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1 \cdot 8 \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 40 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $40 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$\frac{- 32 x^{5} + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $8$ à partir de $- 32 x^{5} + 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32 x^{5}$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5} + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{5}$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) - 1 (- 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{5}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (4 x^{5} - 3)$ comme $- 1 (4 x^{5} - 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (4 x^{5} - 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$