Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$