Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 13 x - \frac{5}{x^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 13 x - \frac{5}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 13 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13 x$ par rapport à $x$ est $- 13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 13$ par $1$ .

$9 x^{2} - 13 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 4.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 4.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 4.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$9 x^{2} - 13 - 5 (- 3 x^{- 4})$

Étape 4.8

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$9 x^{2} - 13 + 15 x^{- 4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} - 13 + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 5.2

Associez $15$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$9 x^{2} - 13 + \frac{15}{x^{4}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} + \frac{15}{x^{4}} - 13$