Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \ln (x^{2} - 3 x + 4)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x^{2} - 3 x + 4)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 3 x + 4)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 3 x + 4)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 x + 4$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 x + 4$ .

$2 (\frac{1}{x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 4}$ et $2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 + 0)$

Étape 3.8

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{2}{x^{2} - 3 x + 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2 x - 3$ par $\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4}$ .

$\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{x^{2} - 3 x + 4}$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 3$ .

$\frac{2 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 4}$