Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Étape 5.2.4

Associez $x$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Étape 5.2.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{x}{1} \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.4

Divisez $x$ par $1$ .

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$