Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (3 x^{2} + 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (3 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Étape 3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 (\sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x^{2} + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 5

Élevez $\sec (3 x^{2} + 5)$ à la puissance $1$ .

$12 (\sec^{1} (3 x^{2} + 5) \sec^{2} (3 x^{2} + 5)) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 {\sec (3 x^{2} + 5)}^{1 + 2} (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $3$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + 0)$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x)$

Étape 13.2

Multipliez $6$ par $12$ .

$72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$

Étape 13.3

Réorganisez les facteurs de $72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$ .

$72 x \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5)$