Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

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Étape 3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Étape 3.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x) e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4 \sin (x) e^{x}$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $4 e^{x} \sin (x)$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Étape 4.3.3

Soustrayez $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 \cos (x) e^{x}$ .

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Étape 4.3.3.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Étape 4.3.4

Additionnez $- 8 e^{x} \sin (x)$ et $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$