Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.3

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.4

Associez $\frac{6}{x^{6}}$ et $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Étape 5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Étape 5.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$