Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x^{3} + 10 x^{2})] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{3} + 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $7$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 (2 x)) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $10$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x)) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ et $6$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Étape 5.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 12 \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) x$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(21 x^{2} + 20 x) \frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} + 12 x \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$