Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x \ln (3 x) - 5 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x \ln (3 x) - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x \ln (3 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (3 x)$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $3$ .

$5 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$5 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$5 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.10

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$5 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.12

Multipliez $\ln (3 x)$ par $1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 1 + 5 \ln (3 x) - 5$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + 5 \ln (3 x) - 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$5 \ln (3 x) + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $5 \ln (3 x)$ et $0$ .

$5 \ln (3 x)$