Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 24 x + 10$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $24$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $24$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $24$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $24$ par $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $48 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x^{2} - 20 x + 24$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $4$ plus $- 9$

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x + 2$ .

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $- (3 x - 2)$ comme $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$