Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$

Étape 1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}$ à $\csc^{2} (7 x)$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (7 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (7 x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (7 x)$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (7 x)$ .

$- 3 (2 \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Étape 4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 (\csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 \csc (7 x) (\csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 7

Élevez $\csc (7 x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 8

Élevez $\csc (7 x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc^{1} (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 {\csc (7 x)}^{1 + 1} (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \csc^{2} (7 x) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 11

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Multipliez $7$ par $6$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \cdot 1$

Étape 14

Multipliez $42$ par $1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x)$