Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{270}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$ .

$\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x]$ .

$\frac{1}{270} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{270} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{270} (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 5

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 6

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x^{3}$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 8

Multipliez $3$ par $40$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [135 x])$

Étape 9

Comme $135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $135 x$ par rapport à $x$ est $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \cdot 1)$

Étape 11

Multipliez $135$ par $1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4}) + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2

Associez des termes.

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Étape 12.2.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{270}$ .

$\frac{- 15}{270} x^{4} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.2

Associez $\frac{- 15}{270}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $270$ .

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Étape 12.2.3.1

Factorisez $15$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{15 (- x^{4})}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $15$ à partir de $270$ .

$\frac{15 (- x^{4})}{15 (18)} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 (- x^{4})}{15 \cdot 18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.5

Associez $120$ et $\frac{1}{270}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120}{270} x^{2} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.6

Associez $\frac{120}{270}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120 x^{2}}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.7

Annulez le facteur commun à $120$ et $270$ .

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Étape 12.2.7.1

Factorisez $30$ à partir de $120 x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.7.2.1

Factorisez $30$ à partir de $270$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 (9)} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 \cdot 9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Étape 12.2.8

Associez $\frac{1}{270}$ et $135$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135}{270}$

Étape 12.2.9

Annulez le facteur commun à $135$ et $270$ .

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Étape 12.2.9.1

Factorisez $135$ à partir de $135$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 (1)}{270}$

Étape 12.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.9.2.1

Factorisez $135$ à partir de $270$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{2}$