Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{1 + 2 e^{0.5 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{1 + 2 e^{0.5 x}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}$ comme ${(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + 2 e^{0.5 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 2 e^{0.5 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 2 e^{0.5 x}$ .

$5 (- {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 e^{0.5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{0.5 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}])$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 0.5 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $0.5 x$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $0.5 x$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Multipliez $0.5$ par $- 10$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $e^{0.5 x}$ par $1$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} e^{0.5 x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Étape 6.2.3

Associez $e^{0.5 x}$ et $\frac{5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{0.5 x} \cdot 5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$

Étape 6.2.4

Déplacez $5$ à gauche de $e^{0.5 x}$ .

$- \frac{5 e^{0.5 x}}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$