Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Étape 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $2 x + 5$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.5.2

Divisez $2 x + 1$ par $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $(A) (2 x + 5)$ par $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.4

Déplacez $5$ à gauche de $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.5

Annulez le facteur commun de $2 x + 5$ .

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Étape 1.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1.1.6.5.2

Divisez $(B) (3 x - 1)$ par $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Étape 1.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Étape 1.1.6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Étape 1.1.6.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Étape 1.1.6.9

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Étape 1.1.7

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.7.1

Déplacez $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Étape 1.1.7.2

Déplacez $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = 2 A + 3 B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $2 = 2 A + 3 B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $2 A + 3 B = 2$ .

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $3 B$ des deux côtés de l’équation.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.3

Divisez chaque terme dans $2 A = 2 - 3 B$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1.3.1

Divisez chaque terme dans $2 A = 2 - 3 B$ par $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.3.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.3.3.1.1

Divisez $2$ par $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.1.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - \frac{3 B}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = 5 A - 1 B$ par $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.1.5

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Pour écrire $- B$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.2.2.1.3.1

Associez $- B$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.2.1.4.1.1

Factorisez $B$ à partir de $- 15 B - B \cdot 2$ .

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Étape 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Factorisez $B$ à partir de $- 15 B$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Factorisez $B$ à partir de $- B \cdot 2$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Factorisez $B$ à partir de $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.1.3

Soustrayez $2$ de $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.2

Déplacez $- 17$ à gauche de $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.2.2.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ .

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.3.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.4.1.1

Simplifiez $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

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Étape 1.3.3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{17}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{17 B}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $17$ .

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Étape 1.3.3.4.1.1.2.1

Factorisez $17$ à partir de $- 17 B$ .

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 1.3.3.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.4.2.1

Multipliez $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

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Étape 1.3.3.4.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.3.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{8}{17}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ par $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.1.1

Associez $3$ et $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.2.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.4.2.1.2.3

Soustrayez $12$ de $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{5}{17}$ par $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{8}{17}$ par $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{5}{17}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{17}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 3 x - 1$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Étape 9

Comme $\frac{8}{17}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{8}{17}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 x + 5$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 10.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 10.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 10.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 10.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 10.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 10.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 10.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 11.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $34$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$