Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{550 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 12}$ comme ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $550$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 11.3

Placez ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]}{x^{2} + 12}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Étape 14

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

Étape 15

Associez les fractions.

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Étape 15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 12}$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Étape 15.3

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Étape 15.4

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 18

Additionnez $1$ et $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

Étape 20.2

Annulez le facteur commun.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 20.3

Réécrivez l’expression.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 21

Placez le signe moins devant la fraction.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 22

Associez $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x$ et $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 22.1

Déplacez ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 22.2

Pour écrire $2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 23

Multipliez ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Déplacez ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 24

Simplifiez $2 x {(x^{2} + 12)}^{1}$ .

$550 \frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Étape 25

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ comme un produit.

$550 (\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12})$

Étape 26

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 12}$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

Étape 27

Multipliez ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 12$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.1

Multipliez ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 12$ .

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Étape 27.1.1

Élevez $x^{2} + 12$ à la puissance $1$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{1}}$

Étape 27.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 27.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 27.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 28

Associez $550$ et $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{550 (2 x (x^{2} + 12) - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29

Simplifiez

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Étape 29.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 12 - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 29.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 29.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 29.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x)) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 29.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x^{1})) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{550 (2 x^{2 + 1}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{550 (2 x^{3}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.2

Multipliez $2$ par $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.3

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (24 x) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.4

Multipliez $24$ par $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x - 550 x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.3.2

Soustrayez $550 x^{3}$ de $1100 x^{3}$ .

$\frac{550 x^{3} + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.4

Factorisez $550 x$ à partir de $550 x^{3} + 13200 x$ .

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Étape 29.4.1

Factorisez $550 x$ à partir de $550 x^{3}$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.4.2

Factorisez $550 x$ à partir de $13200 x$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 550 x (24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 29.4.3

Factorisez $550 x$ à partir de $550 x (x^{2}) + 550 x (24)$ .

$\frac{550 x (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$