Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11

Associez $4$ et $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 \cos (x)) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 12.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 \cos (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.5

Réorganisez les termes.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.5

Factorisez $4$ à partir de $4 + 12 \cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1) + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.5.2

Factorisez $4$ à partir de $12 \cos (x)$ .

$\frac{4 (1) + 4 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (3 \cos (x))$ .

$\frac{4 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$