Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 5^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 3125]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{x} + 2^{x - 6} - x + 3125$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2^{x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2^{x - 6}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 3.6

Multipliez $2^{x - 6}$ par $1$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + \frac{d}{d x} [3125]$

Étape 5

Comme $3125$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3125$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{- 2} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1 + 0$

Étape 6.2.3

Additionnez $- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1$ et $0$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + 2^{x - 6} \ln (2) - 1$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2^{x - 6} \ln (2) - \frac{4}{x^{2}} - 1$