Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $x^{2} - x - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Étape 2.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Étape 3.4.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.4.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Étape 3.4.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 3.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.4.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.5, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.25$ dans l’expression.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Étape 8.2.1.2

Divisez $1$ par $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 0.5$ et $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $2.5$ .

$2.5$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 1)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 10.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 10.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- (1 \cdot 2)$ .

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Étape 10.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Étape 10.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Étape 10.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 10.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 1), (1, \infty)$

Étape 12

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 12.2.2.4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 12.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 12.2.5.1

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 12.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{5}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 13

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(0, 1)$

Étape 14