Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

Étape 3.5

Associez les fractions.

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Étape 3.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

Étape 3.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} + 1$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

Étape 3.5.3

Associez $4$ et $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Étape 3.5.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Étape 3.5.5

Associez $x^{3}$ et $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Étape 3.5.6

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x^{4} + 1$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$