Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{9 + x}{1 - 9 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 + x$ et $g (x) = 1 - 9 x$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [9 + x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - 9 x) \cdot 1 - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $1 - 9 x$ par $1$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [- 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (- 9 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \cdot 1}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 2.12

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x)}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Associez les termes opposés dans $1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Additionnez $- 9 x$ et $9 x$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9 + 0}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $1 + 9 \cdot 9$ et $0$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{1 + 81}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $81$ .

$\frac{82}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{82}{{(- 9 x + 1)}^{2}}$