Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = {(4 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + 0))$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \cdot 4)$

Étape 3.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x + 1))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x) + 8 \cdot 1)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8 \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8)$