Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cot^{2} (\sin (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (\sin (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (\sin (x))$ .

$2 \cot (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) (\csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Étape 5.7

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Étape 5.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Étape 5.9

Réécrivez $\cot (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$

Étape 5.10

Multipliez $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ .

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Étape 5.10.1

Multipliez $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ par $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Étape 5.10.2

Multipliez $\sin (\sin (x))$ par $\sin^{2} (\sin (x))$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.10.2.1

Multipliez $\sin (\sin (x))$ par $\sin^{2} (\sin (x))$ .

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Étape 5.10.2.1.1

Élevez $\sin (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{1} (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Étape 5.10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{{\sin (\sin (x))}^{1 + 2}}$

Étape 5.10.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Étape 5.11

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\sin (x))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Étape 5.12

Factorisez $\sin (\sin (x))$ à partir de $\sin^{3} (\sin (x))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Étape 5.13

Séparez les fractions.

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))})$

Étape 5.14

Convertissez de $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ à $\cot (\sin (x))$ .

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Étape 5.15

Factorisez $\sin (\sin (x))$ à partir de $\sin^{2} (\sin (x))$ .

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Étape 5.16

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Étape 5.17

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))}$ comme un produit.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.18

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.19

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Étape 5.19.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.19.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ à $\csc (\sin (x))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.20

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.21

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ à $\csc (\sin (x))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.22

Divisez $2$ par $1$ .

$- (2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.23

Multipliez $2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x)))$ .

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Étape 5.23.1

Élevez $\csc (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.23.2

Élevez $\csc (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc^{1} (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.23.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 {\csc (\sin (x))}^{1 + 1} \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Étape 5.24

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$