Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\cot (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Étape 5.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \cot (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))}{e^{2 x}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{e^{2 x}}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x}}$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{1}$

Étape 5.3.2.4

Divisez $e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ par $1$ .

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} (- \csc^{2} (x)) + e^{- x} (- \cot (x))$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) + e^{- x} (- \cot (x))$

Étape 5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) - e^{- x} \cot (x)$