Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cot^{3} (\sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 3$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2}$ et $\cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 13

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ et $\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 14.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$