Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{8 (x - t)}{x^{2}}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 (x - t)}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - t$ et $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.4

Comme $- t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$8 \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Étape 3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 (x - t) x$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$8 \frac{x \cdot x - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x - t) x$ .

$8 \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - t))}{x^{4}}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 (x - t))$ .

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x^{4}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$

Étape 5

Associez $8$ et $\frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$ .

$\frac{8 (x - 2 (x - t))}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (x - 2 x - 2 (- t))}{x^{3}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x + 8 (- 2 x) + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (2 t)}{x^{3}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 16 t}{x^{3}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $16 x$ de $8 x$ .

$\frac{- 8 x + 16 t}{x^{3}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{16 t - 8 x}{x^{3}}$

Étape 6.5

Factorisez $8$ à partir de $16 t - 8 x$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16 t$ .

$\frac{8 (2 t) - 8 x}{x^{3}}$

Étape 6.5.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{8 (2 t) + 8 (- x)}{x^{3}}$

Étape 6.5.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (2 t) + 8 (- x)$ .

$\frac{8 (2 t - x)}{x^{3}}$