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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.2
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.2.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.2.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.2.6
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 1.1.2.8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.2.9
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 1.1.2.9.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.9.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.10
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.2.10.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.2.10.1.1
Additionnez et .
Étape 1.1.2.10.1.2
Toute racine de est .
Étape 1.1.2.10.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.2.10.1.4
Additionnez et .
Étape 1.1.2.10.1.5
Toute racine de est .
Étape 1.1.2.10.1.6
Multipliez par .
Étape 1.1.2.10.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.3.2
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.3.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.3.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 1.1.3.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.3.6
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.3.7
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.3.8
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 1.1.3.9
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.3.10
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 1.1.3.10.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.3.10.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.3.11
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.3.11.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.3.11.1.1
Multipliez par .
Étape 1.1.3.11.1.2
Additionnez et .
Étape 1.1.3.11.1.3
Réécrivez comme .
Étape 1.1.3.11.1.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 1.1.3.11.1.5
Multipliez par .
Étape 1.1.3.11.1.6
Additionnez et .
Étape 1.1.3.11.1.7
Réécrivez comme .
Étape 1.1.3.11.1.8
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 1.1.3.11.1.9
Multipliez par .
Étape 1.1.3.11.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3.11.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.3.12
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 1.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 1.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 1.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3
Évaluez .
Étape 1.3.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.3.7
Associez et .
Étape 1.3.3.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.3.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.3.9.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.3.11
Additionnez et .
Étape 1.3.3.12
Associez et .
Étape 1.3.3.13
Multipliez par .
Étape 1.3.3.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.4
Évaluez .
Étape 1.3.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.4.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.4.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.4.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.4.4
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.4.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.8
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.4.9
Associez et .
Étape 1.3.4.10
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.4.11
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.4.11.1
Multipliez par .
Étape 1.3.4.11.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.4.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.4.13
Multipliez par .
Étape 1.3.4.14
Additionnez et .
Étape 1.3.4.15
Associez et .
Étape 1.3.4.16
Associez et .
Étape 1.3.4.17
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.4.18
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.4.19
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.4.20
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.6
Évaluez .
Étape 1.3.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.6.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.6.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.6.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.6.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.6.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.6.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.6.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.6.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.6.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.6.8
Associez et .
Étape 1.3.6.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.6.10
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.6.10.1
Multipliez par .
Étape 1.3.6.10.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.6.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.6.12
Multipliez par .
Étape 1.3.6.13
Additionnez et .
Étape 1.3.6.14
Associez et .
Étape 1.3.6.15
Associez et .
Étape 1.3.6.16
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.6.17
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.7
Évaluez .
Étape 1.3.7.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.7.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.7.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.7.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.7.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.7.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.7.4
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.7.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.7.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.7.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.7.8
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.7.9
Associez et .
Étape 1.3.7.10
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.7.11
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.7.11.1
Multipliez par .
Étape 1.3.7.11.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.7.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.7.13
Multipliez par .
Étape 1.3.7.14
Additionnez et .
Étape 1.3.7.15
Associez et .
Étape 1.3.7.16
Associez et .
Étape 1.3.7.17
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.7.18
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.7.19
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.7.20
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4
Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 1.4.1
Réécrivez comme .
Étape 1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 1.4.3
Réécrivez comme .
Étape 1.4.4
Réécrivez comme .
Étape 1.5
Associez des termes.
Étape 1.5.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 1.5.3.1
Multipliez par .
Étape 1.5.3.2
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 1.5.3.3
Multipliez par .
Étape 1.5.3.4
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 1.5.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.5.5
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5.7
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 1.5.7.1
Multipliez par .
Étape 1.5.7.2
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 1.5.7.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.4
Multipliez par .
Étape 1.5.7.5
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 1.5.7.6
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.6.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.7.6.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2
Étape 2.1
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.6
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.9
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.10
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.11
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.12
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.13
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.14
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.15
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.16
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.17
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.18
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.19
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.20
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.21
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.22
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.23
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.24
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.25
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.26
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.27
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.28
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.29
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.30
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.31
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.32
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.33
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.34
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.35
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.36
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.37
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.38
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.39
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.40
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.4
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.5
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.6
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.7
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.8
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4
Étape 4.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 4.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.1
Multipliez par .
Étape 4.3.2
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Toute racine de est .
Étape 4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.3.5
Toute racine de est .
Étape 4.3.6
Multipliez par .
Étape 4.3.7
Soustrayez de .
Étape 4.4
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.4.1
Multipliez par .
Étape 4.4.2
Additionnez et .
Étape 4.4.3
Multipliez par .
Étape 4.4.4
Additionnez et .
Étape 4.4.5
Toute racine de est .
Étape 4.5
Divisez par .
Étape 4.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.6.1
Multipliez par .
Étape 4.6.2
Additionnez et .
Étape 4.6.3
Multipliez par .
Étape 4.6.4
Additionnez et .
Étape 4.6.5
Multipliez par .
Étape 4.6.6
Réécrivez comme .
Étape 4.6.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.7
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.7.1
Multipliez par .
Étape 4.7.2
Additionnez et .
Étape 4.7.3
Réécrivez comme .
Étape 4.7.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.7.5
Multipliez par .
Étape 4.7.6
Multipliez par .
Étape 4.7.7
Additionnez et .
Étape 4.7.8
Réécrivez comme .
Étape 4.7.9
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.7.10
Multipliez par .
Étape 4.7.11
Soustrayez de .
Étape 4.8
Divisez par .
Étape 4.9
Multipliez par .