Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{18 x}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{18 x}]$ comme $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $18 x$ comme $3^{2} \cdot (2 x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{9 (2) x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot 2 x}]$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot (2 x)}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Comme $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (3 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Déplacez $3$ à gauche de $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13.2

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$