Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$125 {(\frac{1}{5})}^{0} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{1^{0}}{5^{0}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$125 \frac{1}{5^{0}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$125 (\frac{1}{1}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$125 (\frac{1}{1}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$125 \cdot 1 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.6

Multipliez $125$ par $1$ .

$125 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.7

Soustrayez $1$ de $2$ .

$125 + 125 {(\frac{1}{5})}^{1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.8

Simplifiez

$125 + 125 (\frac{1}{5}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$125 + 5 (25) \frac{1}{5} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$125 + 5 \cdot 25 \frac{1}{5} + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$125 + 25 + 125 {(\frac{1}{5})}^{3 - 1} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.10

Soustrayez $1$ de $3$ .

$125 + 25 + 125 {(\frac{1}{5})}^{2} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$125 + 25 + 125 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$125 + 25 + 125 \frac{1}{5^{2}} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.13

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 + 25 + 125 (\frac{1}{25}) + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.14.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$125 + 25 + 25 (5) \frac{1}{25} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$125 + 25 + 25 \cdot 5 \frac{1}{25} + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$125 + 25 + 5 + 125 {(\frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.15

Soustrayez $1$ de $4$ .

$125 + 25 + 5 + 125 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Étape 2.1.16

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$125 + 25 + 5 + 125 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Étape 2.1.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$125 + 25 + 5 + 125 \frac{1}{5^{3}}$

Étape 2.1.18

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 + 25 + 5 + 125 (\frac{1}{125})$

Étape 2.1.19

Annulez le facteur commun de $125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.19.1

Annulez le facteur commun.

$125 + 25 + 5 + 125 (\frac{1}{125})$

Étape 2.1.19.2

Réécrivez l’expression.

$125 + 25 + 5 + 1$

Étape 2.2

Additionnez $125$ et $25$ .

$150 + 5 + 1$

Étape 2.3

Additionnez $150$ et $5$ .

$155 + 1$

Étape 2.4

Additionnez $155$ et $1$ .

$156$