Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{\csc (2 x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\csc (2 x)}$ comme ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 7.3

Placez ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\csc (2 x)$ .

$- \frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 9.2

Associez $\cot (2 x)$ et $\frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 9.3

Placez ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10

Multipliez $\csc (2 x)$ par ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1

Déplacez ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.2

Multipliez ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ par $\csc (2 x)$ .

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Étape 10.2.1

Élevez $\csc (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc^{1} (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.2

Associez $- 2$ et $\frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.4

Divisez $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.2

Réorganisez les facteurs de $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cot (2 x)$