Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 \frac{1}{0 + 2}$

Étape 5.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Étape 5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$