Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \sec^{2} (3 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec^{2} (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)] + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x)$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$x^{2} (2 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$x^{2} (2 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} (2 {\sec (3 x)}^{1 + 1} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (2 \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (2 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \cdot 1) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 11

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{2} (3 x) (2 x)$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) + 2 x \sec^{2} (3 x)$