Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 - 3 x - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.1.1.1

Déplacez $4$ .

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 3 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, - 4$

Étape 7

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 4, 5, - 5$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{923076}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4.5$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 4.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $0.57894736$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $- 0.16$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $0.875$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 15.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

Étape 15.5.3

Le côté gauche $- 2.\overline{153846}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 1$ Faux

$1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 1$ Faux

$1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < - 4$ ou $1 < x < 5$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

Étape 18