Calcul infinitésimal Exemples

$| x - 3 | + | x + 2 | < 11$

Étape 1

Remplacez $<$ par $=$ dans $| x - 3 | + | x + 2 | < 11$ .

$| x - 3 | + | x + 2 | = 11$

Étape 2

Soustrayez $| x - 3 |$ des deux côtés de l’équation.

$| x + 2 | = 11 - | x - 3 |$

Étape 3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x + 2 = \pm (11 - | x - 3 |)$

Étape 4

Le résultat se compose des parties positive et négative de $\pm$ .

$x + 2 = 11 - | x - 3 |$

$x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$

Étape 5

Résolvez $x + 2 = 11 - | x - 3 |$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Résolvez $| x - 3 |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réécrivez l’équation comme $11 - | x - 3 | = x + 2$ .

$11 - | x - 3 | = x + 2$

Étape 5.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| x - 3 |$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$- | x - 3 | = x + 2 - 11$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $11$ de $2$ .

$- | x - 3 | = x - 9$

Étape 5.1.3

Divisez chaque terme dans $- | x - 3 | = x - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- | x - 3 | = x - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Étape 5.1.3.2.2

Divisez $| x - 3 |$ par $1$ .

$| x - 3 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$| x - 3 | = - 1 \cdot x + \frac{- 9}{- 1}$

Étape 5.1.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$| x - 3 | = - x + \frac{- 9}{- 1}$

Étape 5.1.3.3.1.3

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$| x - 3 | = - x + 9$

Étape 5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (- x + 9)$

Étape 5.3

Le résultat se compose des parties positive et négative de $\pm$ .

$x - 3 = - x + 9$

$x - 3 = - (- x + 9)$

Étape 5.4

Résolvez $x - 3 = - x + 9$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 3 + x = 9$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 3 = 9$

Étape 5.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 9 + 3$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$2 x = 12$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 12$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 12$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{2}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1

Divisez $12$ par $2$ .

$x = 6$

Étape 5.5

Résolvez $x - 3 = - (- x + 9)$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez $- (- x + 9)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Réécrivez.

$x - 3 = 0 + 0 - (- x + 9)$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x - 3 = - (- x + 9)$

Étape 5.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 3 = - - x - 1 \cdot 9$

Étape 5.5.1.4

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x - 3 = 1 x - 1 \cdot 9$

Étape 5.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x - 3 = x - 1 \cdot 9$

Étape 5.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$x - 3 = x - 9$

Étape 5.5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 - x = - 9$

Étape 5.5.2.2

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 - 3 = - 9$

Étape 5.5.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3 = - 9$

Étape 5.5.3

Comme $- 3 \neq - 9$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 5.6

Consolidez les solutions.

$x = 6$

Étape 6

Résolvez $x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Résolvez $| x - 3 |$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez l’équation comme $- (11 - | x - 3 |) = x + 2$ .

$- (11 - | x - 3 |) = x + 2$

Étape 6.1.2

Simplifiez $- (11 - | x - 3 |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Étape 6.1.2.3

Multipliez $- - | x - 3 |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 11 + 1 | x - 3 | = x + 2$

Étape 6.1.2.3.2

Multipliez $| x - 3 |$ par $1$ .

$- 11 + | x - 3 | = x + 2$

Étape 6.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| x - 3 |$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$| x - 3 | = x + 2 + 11$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $2$ et $11$ .

$| x - 3 | = x + 13$

Étape 6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (x + 13)$

Étape 6.3

Le résultat se compose des parties positive et négative de $\pm$ .

$x - 3 = x + 13$

$x - 3 = - (x + 13)$

Étape 6.4

Résolvez $x - 3 = x + 13$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 - x = 13$

Étape 6.4.1.2

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 - 3 = 13$

Étape 6.4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3 = 13$

Étape 6.4.2

Comme $- 3 \neq 13$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6.5

Résolvez $x - 3 = - (x + 13)$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Simplifiez $- (x + 13)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Réécrivez.

$x - 3 = 0 + 0 - (x + 13)$

Étape 6.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x - 3 = - (x + 13)$

Étape 6.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 3 = - x - 1 \cdot 13$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$x - 3 = - x - 13$

Étape 6.5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 3 + x = - 13$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 3 = - 13$

Étape 6.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = - 13 + 3$

Étape 6.5.3.2

Additionnez $- 13$ et $3$ .

$2 x = - 10$

Étape 6.5.4

Divisez chaque terme dans $2 x = - 10$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 10$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{2}$

Étape 6.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.3.1

Divisez $- 10$ par $2$ .

$x = - 5$

Étape 6.6

Consolidez les solutions.

$x = - 5$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 6, - 5$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 8) - 3 | + | (- 8) + 2 | < 11$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $17$ n’est pas inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$| (0) - 3 | + | (0) + 2 | < 11$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $5$ est inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$| (8) - 3 | + | (8) + 2 | < 11$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $15$ n’est pas inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 6$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, 6)$

Étape 12