Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 4, - 1$

Étape 7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Étape 10

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Étape 10.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Étape 10.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + i$

Étape 11

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 11.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.3

Soustrayez $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Étape 11.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Étape 11.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - i$

Étape 12

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + i, 2 - i$

Étape 13

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Étape 14

Consolidez les solutions.

$x = 4, - 1$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $0.\overline{648}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $- 0.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $0.82352941$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 4$

Étape 18

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1, 4)$

Étape 19