Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Étape 5

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Étape 6.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Étape 6.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

Étape 6.6

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

Étape 6.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

Étape 6.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

Étape 6.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

Étape 7