Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $9 x^{2} - 10 x + 5$ et $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Étape 3.1.2

Multipliez $9$ par $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 10$ par $6$ .

$324 - 60 + 5$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $60$ de $324$ .

$264 + 5$

Étape 3.2.2

Additionnez $264$ et $5$ .

$269$