Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ comme une équation.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 e^{2 y} = x - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{2 y} = x - 1$ par $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $e^{2 y}$ par $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.5

Développez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.6.1

Associez les termes opposés dans $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6.1.3

Divisez $0$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6.1.4

Additionnez $e^{2 x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.6.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.7

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Étape 5.2.8

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Étape 5.2.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Étape 5.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$