Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ comme une équation.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - e^{y}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $x (1 - e^{y})$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $x e^{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} + x e^{y}$ .

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Étape 3.4.3.1

Multipliez par $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 + x) = x - 1$ par $1 + x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 + x) = x - 1$ par $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Étape 3.4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.6.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Étape 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ par $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Étape 5.2.4.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Étape 5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Étape 5.2.6

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun de $1 - e^{x}$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Étape 5.2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun de $1 - e^{x}$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Étape 5.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- e^{x} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.5

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $1 - e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Étape 5.2.8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Étape 5.2.8.3

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Étape 5.2.8.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Étape 5.2.9.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.10

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Étape 5.2.11

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Étape 5.2.12

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.5.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.5.3

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$