Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{y} + 1$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $x (e^{y} + 1)$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} - x e^{y}$ .

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Étape 3.4.3.1

Multipliez par $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - x) = x + 1$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - x) = x + 1$ par $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Étape 3.4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Étape 3.4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.6.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Étape 3.4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ par $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun de $e^{x} + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $e^{x} + 1$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Multipliez $e^{x} + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.6.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.6.4

Additionnez $2 e^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $e^{x} + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Étape 5.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Étape 5.2.7.4

Soustrayez $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Étape 5.2.7.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Étape 5.2.8.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.9

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Étape 5.2.10

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Étape 5.2.11

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.3.6.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Étape 5.3.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{- x + 1}$ par $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $- x + 1$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$