Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $y$ .

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

Étape 3.3

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $4 (x + \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 4 x + 2$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

Étape 5.2.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

Étape 5.2.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4 x + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (4 x + 2) = x + 0$

Étape 5.3.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (4 x + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$