Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 8 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{- 8 x}$ comme une équation.

$y = e^{- 8 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{- 8 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{- 8 y} = x$ .

$e^{- 8 y} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{- 8 y})$ en déplaçant $- 8 y$ hors du logarithme.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- 8 y = \ln (x)$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 y = \ln (x)$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ est l’inverse de $f (x) = e^{- 8 x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

Étape 5.2.3

Développez $\ln (e^{- 8 x})$ en déplaçant $- 8 x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

Étape 5.2.4.2.4

Divisez $- x \ln (e)$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

Étape 5.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (x)}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

Étape 5.3.4

Multipliez.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ est l’inverse de $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$