Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ comme une équation.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - 4 y}$ comme ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$8 - 4 y = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 4 y = x^{2} - 8$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = x^{2} - 8$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Divisez $- 8$ par $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 - 4 x$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ comme $2 - x$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x}$ comme ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.10

Factorisez $4$ à partir de $8 - 4 x$ .

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Étape 5.2.3.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $2 - x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Étape 5.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 2 + x + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Étape 5.3.3

Factorisez $4$ à partir de $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Étape 5.3.5.3

Additionnez $\frac{x^{2}}{4}$ et $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Étape 5.3.6

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Étape 5.3.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.1

Réduisez l’expression $\frac{4 x^{2}}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Étape 5.3.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Étape 5.3.7.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$