Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6 x - 1}{2 x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6 x - 1}{2 x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{6 x - 1}{2 x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6 y - 1}{2 y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6 y - 1}{2 y + 5} = x$ .

$\frac{6 y - 1}{2 y + 5} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y + 5, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 y + 5, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y + 5$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{6 y - 1}{2 y + 5} = x$ par $2 y + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6 y - 1}{2 y + 5} = x$ par $2 y + 5$ .

$\frac{6 y - 1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y - 1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 y - 1 = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 y - 1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 y - 1 = 2 x y + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$6 y - 1 = 2 x y + 5 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$6 y - 1 - 2 x y = 5 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y - 2 x y = 5 x + 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y - 2 x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y$ .

$2 y (3) - 2 x y = 5 x + 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 x y$ .

$2 y (3) + 2 y (- x) = 5 x + 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (3) + 2 y (- x)$ .

$2 y (3 - x) = 5 x + 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $2 y (3 - x) = 5 x + 1$ par $2 (3 - x)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y (3 - x) = 5 x + 1$ par $2 (3 - x)$ .

$\frac{2 y (3 - x)}{2 (3 - x)} = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y (3 - x)}{2 (3 - x)} = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x - 1}{2 x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x - 1}{2 x + 5})}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))} + \frac{1}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) + 1}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.3.2

Associez $5$ et $\frac{6 x - 1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x - 1)}{2 x + 5} + 1}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x - 1)}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x - 1) + 2 x + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x) + 5 \cdot - 1 + 2 x + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{30 x + 5 \cdot - 1 + 2 x + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{30 x - 5 + 2 x + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $30 x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{32 x - 5 + 5}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4.5

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{32 x + 0}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.4.6

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{\frac{32 x}{2 x + 5}}{2 (3 - (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}))}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{32 x}{2 x + 5} \cdot \frac{1}{2 (3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $32 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{2 (16 x)}{2 x + 5} \cdot \frac{1}{2 (3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{2 (16 x)}{2 x + 5} \cdot \frac{1}{2 (3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{2 x + 5} \cdot \frac{1}{3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5}}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $\frac{16 x}{2 x + 5}$ par $\frac{1}{3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (3 - \frac{6 x - 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{3 (2 x + 5)}{2 x + 5} - \frac{6 x - 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{3 (2 x + 5) - (6 x - 1)}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez $\frac{3 (2 x + 5) - (6 x - 1)}{2 x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 5 - (6 x - 1)}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{6 x + 3 \cdot 5 - (6 x - 1)}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{6 x + 15 - (6 x - 1)}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{6 x + 15 - (6 x) + 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{6 x + 15 - 6 x + 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{6 x + 15 - 6 x + 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.7

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{0 + 15 + 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.8

Additionnez $0$ et $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{15 + 1}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.7.3.9

Additionnez $15$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{16 x}{(2 x + 5) (\frac{16}{2 x + 5})}$

Étape 5.2.8

Factorisez $\frac{16}{2 x + 5}$ à partir de $\frac{16 x}{(2 x + 5) \frac{16}{2 x + 5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{16} \cdot \frac{16 x}{2 x + 5}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $2 x + 5$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{16} \cdot \frac{16 x}{2 x + 5}$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{1}{16} \cdot (16 x)$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{1}{16} \cdot (16 (x))$

Étape 5.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = \frac{1}{16} \cdot (16 x)$

Étape 5.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x - 1}{2 x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{2 (3 - x)}) + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{2 (3) (\frac{5 x}{2 (3 - x)}) + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{5 x}{2 (3 - x)})) + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3 - x}) + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.3

Associez $3$ et $\frac{5 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x} + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x} + 6 (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x} + 2 (3) (\frac{1}{2 (3 - x)}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 (3 - x)})) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x} + 3 (\frac{1}{3 - x}) - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6

Associez $3$ et $\frac{1}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x} + \frac{3}{3 - x} - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3}{3 - x} - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $3$ à partir de $15 x + 3$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x) + 3}{3 - x} - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.8.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x) + 3 (1)}{3 - x} - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (5 x) + 3 (1)$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x + 1)}{3 - x} - 1}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x + 1)}{3 - x} - 1 \cdot \frac{3 - x}{3 - x}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x + 1)}{3 - x} + \frac{- (3 - x)}{3 - x}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x + 1) - (3 - x)}{3 - x}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x + 1) - (3 - x)}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13

Réécrivez $\frac{3 (5 x + 1) - (3 - x)}{- x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 - (3 - x)}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 \cdot 1 - (3 - x)}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 - (3 - x)}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 - 1 \cdot 3 + x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 - 3 + x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 - 3 + 1 x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{15 x + 3 - 3 + x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.7

Additionnez $15 x$ et $x$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x + 3 - 3}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.8

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x + 0}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.13.9

Additionnez $16 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{2 (\frac{5 x}{2 (3 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x}{3 - x} + 2 (\frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x}{3 - x} + 2 (\frac{1}{2 (3 - x)}) + 5}$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x}{3 - x} + \frac{1}{3 - x} + 5}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 1}{3 - x} + 5}$

Étape 5.3.4.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 1}{3 - x} + \frac{5 (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 1 + 5 (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 5 (3 - x) + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8

Réécrivez $\frac{5 x + 5 (3 - x) + 1}{- x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 5 \cdot 3 + 5 (- x) + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 15 + 5 (- x) + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{5 x + 15 - 5 x + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8.4

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{0 + 15 + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8.5

Additionnez $0$ et $15$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{15 + 1}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.8.6

Additionnez $15$ et $1$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{\frac{16 x}{- x + 3}}{\frac{16}{- x + 3}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{16 x}{- x + 3} \cdot \frac{- x + 3}{16}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{16 (x)}{- x + 3} \cdot \frac{- x + 3}{16}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{16 x}{- x + 3} \cdot \frac{- x + 3}{16}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{x}{- x + 3} \cdot (- x + 3)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{- x + 3}$ par $- x + 3$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $- x + 3$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x - 1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2 (3 - x)} + \frac{1}{2 (3 - x)}$