Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ comme une équation.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ par $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ en déplaçant $\frac{y}{3} + 1$ hors du logarithme.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{y}{3} + 1$ par $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 3.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Étape 3.6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Étape 3.7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Étape 3.7.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.2.1

Simplifiez $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Étape 3.7.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Étape 5.2.3.1.2

Divisez $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Étape 5.2.3.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{1}{3} x + 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Étape 5.2.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $\frac{x}{3} + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Étape 5.2.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Étape 5.2.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Simplifiez $3 \ln (\frac{x}{3})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Étape 5.3.3.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.3.5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.2.2

Simplifiez

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.5.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.3.5.3.4

Évaluez l’exposant.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\ln (\frac{x}{3})$ et $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$