Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ comme une équation.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3}{2} y + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{2} y + 3 = x$ .

$\frac{3}{2} y + 3 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $y$ .

$\frac{3 y}{2} + 3 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y}{2} = x - 3$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (x - 3)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 3.5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3}{2} x + 3)}{3} - 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 3)}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2} + 3$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3)}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3 (1))}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + 1)}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}{3} - 2$

Étape 5.2.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x + 2}{2})}{3} - 2$

Étape 5.2.3.2

Associez $6$ et $\frac{x + 2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{6 (x + 2)}{2}}{3} - 2$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 (x + 2)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2}}{3} - 2$

Étape 5.2.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 (1)}}{3} - 2$

Étape 5.2.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 \cdot 1}}{3} - 2$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 2)}{1}}{3} - 2$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $3 (x + 2)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 2 - 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 x}{3} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2 x}{3} - 2) + 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x - 3 + 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$