Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ comme une équation.

$y = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 9 \sqrt[7]{8 y - 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ .

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ par $9$ .

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sqrt[7]{8 y - 7}$ par $1$ .

$\sqrt[7]{8 y - 7} = \frac{x}{9}$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${\sqrt[7]{8 y - 7}}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{8 y - 7}$ comme ${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 y - 7)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$8 y - 7 = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{9})}^{7}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{9}$ .

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{9^{7}}$

Étape 3.4.3.1.2

Élevez $9$ à la puissance $7$ .

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{4782969}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{7}}{4782969} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Associez.

$y = \frac{x^{7} \cdot 1}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Multipliez $x^{7}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{7}}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Multipliez $4782969$ par $8$ .

$y = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{{(9 \sqrt[7]{8 x - 7})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{9^{7} {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.2

Élevez $9$ à la puissance $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}$ comme $8 x - 7$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{8 x - 7}$ comme ${(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {({(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $4782969$ à partir de $38263752$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7}{8} + \frac{7}{8}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7 + 7}{8}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $8 x - 7 + 7$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $8$ à partir de $38263752$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 (4782969)}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 \cdot 4782969}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 7 - 7}$

Étape 5.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.6.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $\frac{x^{7}}{4782969}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969}}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez $4782969$ comme $9^{7}$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{9^{7}}}$

Étape 5.3.7

Réécrivez $\frac{x^{7}}{9^{7}}$ comme ${(\frac{x}{9})}^{7}$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{{(\frac{x}{9})}^{7}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$