Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{2 x} + 1$ comme une équation.

$y = e^{2 x} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{2 y} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{2 y} = x - 1$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x - 1)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x - 1)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ est l’inverse de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $e^{2 x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Étape 5.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Étape 5.2.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Étape 5.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ est l’inverse de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$