Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ comme une équation.

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{2}{3} y + 6$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2}{3} y + 6 = x$ .

$- \frac{2}{3} y + 6 = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $y$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{3} + 6 = x$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- \frac{2 y}{3} + 6 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2 y}{3} = x - 6$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 y}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} (x - 6)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Étape 3.5.2.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Étape 3.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 6$

Étape 3.5.2.1.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Étape 3.5.2.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Étape 3.5.2.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 9$

Étape 3.5.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 9$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2}{3} x + 6)}{2} + 9$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3} + 6)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2 \cdot x}{3} + 6)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{2 x}{3} + 6$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{2 x}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 6)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3))}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 \cdot (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.5

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.6

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Étape 5.2.3.1.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 9}{3})}{2} + 9$

Étape 5.2.3.2

Associez $6$ et $\frac{- x + 9}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{6 (- x + 9)}{3}}{2} + 9$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 (- x + 9)}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (- x + 9)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3}}{2} + 9$

Étape 5.2.3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 (1)}}{2} + 9$

Étape 5.2.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} + 9$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{2 (- x + 9)}{1}}{2} + 9$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $2 (- x + 9)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $- x + 9$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - (- x + 9) + 9$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = 1 x - 1 \cdot 9 + 9$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Étape 5.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 9 + 9$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 9 + 9$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{3 x}{2} + 9)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 9) + 6$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - 1 (- x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = 1 x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot 9 + 6$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (3)) + 6$

Étape 5.3.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Étape 5.3.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 2 \cdot 3 + 6$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 6 + 6$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 6 + 6$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$