Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{5} x + 7$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{5} x + 7$ comme une équation.

$y = \frac{1}{5} x + 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{5} y + 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{5} y + 7 = x$ .

$\frac{1}{5} y + 7 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $y$ .

$\frac{y}{5} + 7 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{5} = x - 7$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{y}{5} = 5 (x - 7)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{y}{5} = 5 (x - 7)$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5 (x - 7)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $5 (x - 7)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 5 x + 5 \cdot - 7$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$y = 5 x - 35$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 5 x - 35$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 5 x - 35$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} x + 7$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = 5 (\frac{1}{5} x + 7) - 35$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = 5 (\frac{x}{5} + 7) - 35$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot 7 - 35$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot 7 - 35$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = x + 5 \cdot 7 - 35$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = x + 35 - 35$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 35 - 35$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $35$ de $35$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x + 7) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (5 x - 35)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (5 x - 35) = \frac{1}{5} \cdot (5 x - 35) + 7$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (5 x - 35) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{1}{5} \cdot - 35 + 7$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (5 x - 35) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x)) + \frac{1}{5} \cdot - 35 + 7$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5 x - 35) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{1}{5} \cdot - 35 + 7$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5 x - 35) = x + \frac{1}{5} \cdot - 35 + 7$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 35$ .

$f (5 x - 35) = x + \frac{1}{5} \cdot (5 (- 7)) + 7$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (5 x - 35) = x + \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 7) + 7$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (5 x - 35) = x - 7 + 7$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 7 + 7$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (5 x - 35) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (5 x - 35) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 5 x - 35$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} x + 7$ .

$f^{- 1} (x) = 5 x - 35$